Estrategia de Pensamiento: Resolución de problemas de optimización
Pertenece a Matemáticas II
OBJETIVO: Disponer de un procedimiento que permita resolver problemas de optimización justificando la utilización del Criterio1 valorando la idoneidad del resultado obtenido.
Para resolver problemas de optimización es necesario responder a las siguientes preguntas:
- Después de leer detenidamente el enunciado, ¿puedo identificar qué función tengo que plantear? Algunas pistas para encontrarla son:
- Esa función que buscamos está siempre unida a la expresión "que sea máxim@" o "que sea mínim@"o "la/ el mayor" o "la/el menor".
Por ejemplo, en el problema "De entre todos los triángulos isósceles de perímetro 8, calcula las dimensiones del que tiene área máxima", la función a plantear es la función área.
-
- Muchas veces resulta útil hacer un dibujo para representar la situación. En este problema sería bueno pintar un triángulo isósceles y nombrar los lados.
h
b
2a
En el ejemplo la función será: [math]\displaystyle{ \mathit{\acute{a}rea}=\frac{2\mathit{ah}}{2}=\mathit{ah}, }[/math]donde [math]\displaystyle{ h }[/math]es la altura, que se calcula por el Teorema de Pitágoras:[math]\displaystyle{ h=\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}} }[/math]
Por tanto, quedará:
[math]\displaystyle{ \mathit{\acute{a}rea}=a\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}} }[/math]
que depende de dos variables, [math]\displaystyle{ ay\mathit{b.} }[/math]
- Una vez planteada la función ,¿de cuántas variables depende? si su fórmula depende de más de una variable independiente, haremos lo siguiente:
- Buscar en el enunciado del problema información que nos permita plantear una ecuación que relacione esas variables. En el ejemplo sería “de perímetro 8” que se expresa mediante la ecuación [math]\displaystyle{ \mathrm{2a}+\mathrm{2b}=8\stackrel{\Leftrightarrow }{❑}a+b=4 }[/math]
- De esta ecuación despejaremos una de las variables y la sustituiremos en la expresión de la función planteada en el punto1, para ello elegiremos la variable que resulté más fácil de despejar en la ecuación y de sustituir en la función.
En nuestro problema es igual de fácil despejar [math]\displaystyle{ a\acute{o}b }[/math], pero es más fácil sustituir [math]\displaystyle{ b\mathit{que}a }[/math], porque sólo hay que sustituir una vez… y quedaría:
[math]\displaystyle{ a+b=4\underset{\Leftrightarrow }{❑}b=4-a }[/math]
Que sustituimos en la función:
[math]\displaystyle{ \mathit{\acute{a}rea}=a\sqrt{{\left(4-a\right)}^{2}-{a}^{2}}=a\sqrt{16-\mathrm{8a}+{a}^{2}-{a}^{2}}=a\sqrt{16-\mathrm{8a}} }[/math]
y ahora nuestra función ya sólo depende de una variable.
- 3.¿Podemos aplicar a esta función el Criterio1? Si es así, calcularemos el máximo o mínimo que nos piden.
En nuestro problema la función es producto de polinómica y composición de polinómica y radical, su dominio es [math]\displaystyle{ -\infty \mathrm{,2} }[/math] y es derivable en [math]\displaystyle{ \begin{array}{c}\\ -\infty \mathrm{,2}\end{array} }[/math], puedo aplicar en este intervalo el Criterio1:
[math]\displaystyle{ \mathit{\acute{a}rea}\textasciiacute =\sqrt{16-\mathrm{8a}}+a\frac{-8}{2\sqrt{16-\mathrm{8a}}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathit{\acute{a}rea}\textasciiacute =0\stackrel{\Leftrightarrow }{❑}32-\mathrm{16a}-\mathrm{8a}=0\stackrel{\Leftrightarrow }{❑}\mathrm{24a}=32\stackrel{\Leftrightarrow }{❑}a=4/3\stackrel{\Rightarrow }{❑}b=8/3 }[/math]
Se debe comprobar que la segunda derivada es negativa en [math]\displaystyle{ a=4/3 }[/math] para verificar que es un máximo.
- 4.¿Qué preguntas me hace el enunciado? ¿He respondido a todas? ¿tiene lógica mi respuesta?
Volviendo a nuestro problema, la respuesta es que todos los lados del triángulo miden 8/3, se trata entonces de un triángulo equilátero. Sí tiene lógica la respuesta porque cuanto más regular es la figura más área abarca con el mismo perímetro.
