Estrategia de Pensamiento: Resolución de problemas de optimización

Pertenece a Matemáticas II

OBJETIVO: Disponer de un procedimiento que permita resolver problemas de optimización justificando la utilización del Criterio1 valorando la idoneidad del resultado obtenido.

Para resolver problemas de optimización es necesario responder a las siguientes preguntas:

1. Después de leer detenidamente el enunciado, ¿puedo identificar qué función tengo que plantear? Algunas pistas para encontrarla son:
   1. Esa función que buscamos está siempre unida a la expresión "que sea máxim@" o "que sea mínim@"o "la/ el mayor" o "la/el menor".
      Por ejemplo, en el problema "De entre todos los triángulos isósceles de perímetro 8, calcula las dimensiones del que tiene área máxima", la función a plantear es la función área.
      
   2. Muchas veces resulta útil hacer un dibujo para representar la situación. En este problema sería bueno pintar un triángulo isósceles y nombrar los lados.
      
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      En el ejemplo la función será: [math]\displaystyle{ \mathit{\acute{a}rea}=\frac{2\mathit{ah}}{2}=\mathit{ah}, }[/math]donde [math]\displaystyle{ h }[/math]es la altura, que se calcula por el Teorema de Pitágoras:[math]\displaystyle{ h=\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}} }[/math]
      
      Por tanto, quedará: [math]\displaystyle{ \mathit{\acute{a}rea}=a\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}} }[/math] que depende de dos variables, [math]\displaystyle{ ay\mathit{b.} }[/math]
      
      
2. Una vez planteada la función, ¿de cuántas variables depende? si su fórmula depende de más de una variable independiente, haremos lo siguiente:
   1. Buscar en el enunciado del problema información que nos permita plantear una ecuación que relacione esas variables. En el ejemplo sería “de perímetro 8” que se expresa mediante la ecuación [math]\displaystyle{ \mathrm{2a}+\mathrm{2b}=8\Leftrightarrow a+b=4 }[/math]
   2. De esta ecuación despejaremos una de las variables y la sustituiremos en la expresión de la función planteada en el punto1, para ello elegiremos la variable que resulté más fácil de despejar en la ecuación y de sustituir en la función.
      En nuestro problema es igual de fácil despejar [math]\displaystyle{ a }[/math] o [math]\displaystyle{ b }[/math], pero es más fácil sustituir [math]\displaystyle{ b }[/math] que [math]\displaystyle{ a }[/math], porque sólo hay que sustituir una vez… y quedaría:
      [math]\displaystyle{ a+b=4\Leftrightarrow b=4-a }[/math]
      Que sustituimos en la función:[math]\displaystyle{ \mathit{\acute{a}rea}=a\sqrt{{\left(4-a\right)}^{2}-{a}^{2}}=a\sqrt{16-\mathrm{8a}+{a}^{2}-{a}^{2}}=a\sqrt{16-\mathrm{8a}} }[/math]y ahora nuestra función ya sólo depende de una variable.
3. ¿Podemos aplicar a esta función el Criterio1? Si es así, calcularemos el máximo o mínimo que nos piden.
   En nuestro problema la función es producto de polinómica y composición de polinómica y radical, su dominio es [math]\displaystyle{ (-\infty \mathrm{,2}] }[/math] y es derivable en [math]\displaystyle{ -\infty \mathrm{,2}) }[/math], puedo aplicar en este intervalo el Criterio1:
   
   [math]\displaystyle{ \mathit{\acute{a}rea}' =\sqrt{16-\mathrm{8a}}+a\frac{-8}{2\sqrt{16-\mathrm{8a}}} }[/math]
   
   [math]\displaystyle{ \mathit{\acute{a}rea}' =0\Leftrightarrow 32-\mathrm{16a}-\mathrm{8a}=0\Leftrightarrow \mathrm{24a}=32\Leftrightarrow a=4/3\Rightarrow b=8/3 }[/math]
   
   Se debe comprobar que la segunda derivada es negativa en [math]\displaystyle{ a=4/3 }[/math] para verificar que es un máximo.
   
   
4. ¿Qué preguntas me hace el enunciado? ¿He respondido a todas? ¿tiene lógica mi respuesta?
   
   Volviendo a nuestro problema, la respuesta es que todos los lados del triángulo miden 8/3, se trata entonces de un triángulo equilátero. Sí tiene lógica la respuesta porque cuanto más regular es la figura más área abarca con el mismo perímetro.