Ver el código de «Estrategia de Pensamiento: Resolución de problemas de optimización»

Pertenece a [[Matemáticas II]]

'''OBJETIVO:''' Disponer de un procedimiento que permita resolver problemas de optimización justificando la utilización del Criterio1 valorando la idoneidad del resultado obtenido.


Para resolver problemas de optimización es necesario responder a las siguientes preguntas:


# Después de leer detenidamente el enunciado''', ¿puedo identificar qué función tengo que plantear?''' Algunas pistas para encontrarla son:
## Esa función que buscamos está '''siempre unida''' a la expresión "que sea máxim@" o "que sea mínim@"o "la/ el mayor" o "la/el menor".<br>Por ejemplo, en el problema "De entre todos los triángulos isósceles de perímetro 8, calcula las dimensiones del que tiene área máxima", la función a plantear es la función área.<br>
## Muchas veces resulta útil '''hacer un dibujo''' para representar la situación. En este problema sería bueno pintar un triángulo isósceles y nombrar los lados.<br>[[File:Triangulo-opt.png|300px|center]]<br>En el ejemplo la función será: <math>\mathit{\acute{a}rea}=\frac{2\mathit{ah}}{2}=\mathit{ah},</math>donde <math>h</math>es la altura, que se calcula por el Teorema de Pitágoras:<math>h=\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}</math><br><br>Por tanto, quedará: <math>\mathit{\acute{a}rea}=a\sqrt{{b}^{2}-{a}^{2}}</math> que depende de dos variables, <math>ay\mathit{b.}</math><br><br>
# Una vez planteada '''la función, ¿de cuántas variables depende?''' si su fórmula depende de más de una variable independiente, haremos lo siguiente:
## Buscar en el enunciado del problema información que nos permita '''plantear una ecuación que relacione esas variables'''. En el ejemplo sería “de perímetro 8” que se expresa mediante la ecuación <math>\mathrm{2a}+\mathrm{2b}=8\Leftrightarrow a+b=4</math>
## De esta ecuación '''despejaremos una de las variables y la sustituiremos en la expresión de la función''' planteada en el punto1, para ello '''elegiremos''' la variable que resulté más fácil de despejar en la ecuación y de sustituir en la función.<br> En nuestro problema es igual de fácil despejar <math>a</math> o <math>b</math>, pero es más fácil sustituir <math>b</math> que <math>a</math>, porque sólo hay que sustituir una vez… y quedaría: <br><math>a+b=4\Leftrightarrow b=4-a</math><br>Que sustituimos en la función:<math>\mathit{\acute{a}rea}=a\sqrt{{\left(4-a\right)}^{2}-{a}^{2}}=a\sqrt{16-\mathrm{8a}+{a}^{2}-{a}^{2}}=a\sqrt{16-\mathrm{8a}}</math>y ahora nuestra función ya sólo depende de una variable.
#'''¿Podemos aplicar a esta función el Criterio1?''' Si es así, calcularemos el máximo o mínimo que nos piden.<br>En nuestro problema la función es producto de polinómica y composición de polinómica y radical, su dominio es <math>(-\infty \mathrm{,2}]</math> y es derivable en <math>-\infty \mathrm{,2})</math>, puedo aplicar en este intervalo el Criterio1:<br><br><math>\mathit{\acute{a}rea}' =\sqrt{16-\mathrm{8a}}+a\frac{-8}{2\sqrt{16-\mathrm{8a}}}</math><br><br><math>\mathit{\acute{a}rea}' =0\Leftrightarrow 32-\mathrm{16a}-\mathrm{8a}=0\Leftrightarrow \mathrm{24a}=32\Leftrightarrow a=4/3\Rightarrow b=8/3</math><br><br>Se debe comprobar que la segunda derivada es negativa en <math>a=4/3</math> para verificar que es un máximo.<br><br>
#'''¿Qué preguntas me hace el enunciado? ¿He respondido a todas? ¿tiene lógica mi respuesta?'''<br><br>Volviendo a nuestro problema, la respuesta es que todos los lados del triángulo miden 8/3, se trata entonces de un triángulo equilátero. Sí tiene lógica la respuesta porque cuanto más regular es la figura más área abarca con el mismo perímetro.