Diferencia entre revisiones de «2. Movimiento ondulatorio. Ondas.»

Temario de Fisica (2012-2013)

Definiciones

Onda: Una onda es la propagación de energía sin que haya desplazamiento de materia. Cuando una onda se propaga, las partículas del medio no acompañan el movimiento de avance de la onda. Para que se produzca un movimiento ondulatorio, se necesita una fuente de energía o centro emisor que produzca una perturbación. También puede existir, en algunos casos, un medio que la transmita.

• Tipos de ondas
  • Onda viajera: Si la perturbación es una onda viajera alcanza al cabo de un tiempo todos los puntos del medio. (ej: piedra en estanque)
  • Onda estacionaria: Es estacionaria cuando la propagación esta delimitada mediante fronteras a una región especifica del medio. (ej: cuerda de guitarra)

Pulso de onda: Es una perturbación individual que se propaga a través de un medio.

Tren de ondas: Es la propagación de una perturbación continua. Todos los puntos del medio están en movimiento. Es necesario suministrar energía continuamente. Cada punto de la cuerda posee un movimiento armónico simple.

Tipos de ondas

Se clasifican según diferentes criterios.

Según el tipo de energía con que se propagan

• Ondas mecánicas: Se propagan con energía mecánica y necesitan de un medio material de propagación. (ej: cuerda)
• Ondas electromagnéticas: La energía propagada es energía electromagnética, producida por oscilaciones de cargas eléctricas aceleradas. Dichas ondas no necesitan de un medio material para propagarse. (ej: luz)

Relación entre la dirección de propagación y la dirección de vibración

• Ondas transversales: Cuando la dirección de propagación y la de vibración son perpendiculares.
• Ondas longitudinales: Si la dirección de propagación coincide con la dirección de vibración. Es una sucesión de contracciones y dilataciones del medio.

Dependiendo del numero de dimensiones en las que se propaga la energía de la onda

• Ondas unidimensionales: Se propaga en una dimensión (ej: cuerda)
• Ondas bidimensionales: Se propaga en dos dimensiones (ej: superficie del agua)
• Ondas tridimensionales: Se propaga en tres dimensiones (ej; ondas de radio)

Magnitudes características de las ondas armónicas

Sea una onda que se transmite por una cuerda.

""Dibujo 2.3 primero""

• Amplitud (A): Es la máxima amplitud con la que vibran las partículas del medio donde se desplaza la onda. Depende solo de la energía que se propaga. (unidades: m)
• Longitud de onda (λ): Es la distancia mínima entre dos puntos consecutivos que se hallan en el mismo estado de vibración. (unidades: m)
• Periodo (T): Tiempo que tarda un punto cualquiera en hacer una oscilación completa. T=1/f (unidades: s)
• Frecuencia de onda (f): Indica el numero de oscilaciones completas que pasan por un medio en un segundo (unidades: Hz)
• Puntos en fase: Se dice que dos puntos de una onda están en fase si tienen el mismo estado de vibración. Si tienen estados de vibración opuestos, se dice que están en oposición de fase.
• Velocidad de propagación (v): También se denomina velocidad de fase. Es la misma en todas las direcciones. (unidades: m/s)
  
  [math]\displaystyle{ v=\frac{\lambda}{T}=\lambda f }[/math]
  Su valor en las ondas electromagneticas es de [math]\displaystyle{ v_{electr}=3\cdot 10^8 m/s }[/math]

• Numero de onda (k): representa el numero de longitudes de onda en una distancia 2π (unidades: m^-1)
  
  [math]\displaystyle{ k=\frac{2\pi}{\lambda} }[/math]
  • Relacion de otras magnitudes con el numero de onda: Teniendo en cuenta que

• Fase de la onda (δ): Informa sobre el estado de vibración de una partícula x de la onda en cualquier instante t (unidades: rad)
• Constante de fase (φ₀): Se determina a partir de las condiciones iniciales (unidades: rad)

Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales

""Dibujo 2.3 segundo""

Se define la ecuación de una onda como la expresión matemática que permite obtener la elongación y de una partícula en un instante t.

Cada punto de la cuerda alcanzado por la perturbación posee un movimiento armónico simple y, por tanto, el estado de vibracion de la partícula en el instante t vendrá dado por la siguiente ecuación:

Si la onda se propaga en el eje OX en sentido positivo, la ecuacion es:

[math]\displaystyle{ y (x,t) = A cos (\omega t - kx) }[/math]

Si la onda se propaga en el eje OX en sentido negativo, la ecuacion es:

[math]\displaystyle{ y (x,t) = A cos (\omega t + kx) }[/math]

Generalizando las ecuanciones y teniendo en cuenta que [math]\displaystyle{ \varphi_0 }[/math] puede ser distinto de 0:

[math]\displaystyle{ y (x,t) = A cos (\omega t \pm kx + \varphi_0) }[/math]

La velocidad de la particula en ese punto será:

[math]\displaystyle{ v (x,t) = \frac {dy (x,t)}{dt} = -A \omega sin (\omega t \pm kx + \varphi_0) }[/math]

La aceleracion de la particula en ese punto será:

[math]\displaystyle{ v (x,t) = \frac {dv (x,t)}{dt} = -A \omega^2 cos (\omega t \pm kx + \varphi_0) }[/math]

Puntos de fase y de oposición de fase de una onda

Sea una onda armónica unidimensional y transversal, avanzando según el sentido positivo del eje OX

"""Dibujo de una onda marcando la velocidad y la longitud de onda, con dos puntos x1 y x2 en fase"""

[math]\displaystyle{ y(x,t) = A cos(\omega t - kx - \varphi_0) }[/math] donde [math]\displaystyle{ (\omega t - kx - \varphi_0) \Rightarrow \delta }[/math] (fase de onda)

Se dice que dos puntos x₁ y x₂ están en fase, es decir, tienen el mismo estado de vibración, si la diferencia de fase entre ellos es un numero par de veces π.

En el instante t: [math]\displaystyle{ \delta_1 = \omega t - kx_1 - \varphi_0 }[/math] y [math]\displaystyle{ \delta_2 = \omega t - kx_2 - \varphi_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta\delta = \delta_2-\delta_1 = (\omega t - kx_2 - \varphi_0)-(\omega t - kx_1 - \varphi_0) = kx_1-kx_2 = k(x_1-x_2) = 2n\pi , n\in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta\delta = k(x_1-x_2) = 2n\pi }[/math]

Aplicando [math]\displaystyle{ k=\frac {2\pi}{\lambda} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac {2\pi}{\lambda}(x_1-x_2) = 2n\pi \Rightarrow |x_1-x_2| = n\lambda , n\in \mathbb Z }[/math]

Se dice que dos puntos x₁ y x₂ están en oposición de fase si la diferencia de fase entre ellos es un numero impar de veces π.

"""Dibujo de una onda con dos puntos x1 y x2 en oposición de fase"""

[math]\displaystyle{ \Delta\delta = \delta_2-\delta_1 = (\omega t - kx_2 - \varphi_0 )-(\omega t - kx_1 - \varphi_0 ) \Rightarrow \Delta\delta = k(x_1-x_2) = (2n+1)\pi }[/math]

Aplicamos [math]\displaystyle{ k=\frac {2\pi} {\lambda} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta\delta = \frac {2\pi} {\lambda} (x_1-x_2) = (2n+1)\pi \Rightarrow |x_1-x_2| = (2n+1) \lambda /2, n\in \mathbb Z }[/math]

Todos los demas puntos de x₁ y x₂ que no verifican las condiciones anteriores se dice que están en desfase.

Propiedades básicas de una onda transversal unidireccional

La ecuación de una onda armónica es doblemente periódica.

Periódica respecto del tiempo t

[math]\displaystyle{ y(x,t) = y(x,t+nT), n\in \mathbb Z }[/math]

Demostración:

Periódica respecto del espacio x

La vibración y de la partícula se repite en aquellos puntos cuyas distancias x son múltiplos de la longitud de onda.

"""Dibujo de una onda con puntos x+nλ con imágenes y coincidentes"""

[math]\displaystyle{ y(x,t) = y(x+n\lambda ,t), n\in Z }[/math]

Demostración:

Propiedades de las ondas

Ciertos fenomenos ondulatorios, como la reflexion, la refraccion y la difraccion, tienen una explicacion sencilla utilizando un metodo geometrico planteado por Huygens en el siglo XVII

Esta explicacion es valida para cualquier tipo de ondas, y permite explicar como se propaga una onda, o lo que es lo mismo, como lo hace la energia en un medio dado

Ejemplo: Onda electromagnetica tridimensional

""Dibujo""

Como los frentes de onda son superficies esfericas, se habla de ondas esfericas. Las direcciones de propagacion de la energia se denominan rayos.

Si el medio donde se propaga la onda es homogeneo, de densidad constante, e isotropo, de caracteristicas iguales; la direccion de propagacion de los rayos es siempre perpendicular a los frentes de onda.

Ejemplo: Onda electromagnetica bidimensional

""Dibujo""

Principio de Huygens

Frente de ondas es el lugar geometrico del espacio donde todos los puntos en un instante dado estan en fase.

Todo punto en un frente de ondas es centro emisor de nuevas ondas elementales cuyo envolvente es el nuevo frente de ondas

!"Dibujo"!

Cuanto mas se aleje la onda llegará un momento en que los frentes de onda sean rectos.

Estudio cualitativo de algunas propiedades de las ondas.

Cuando un movimiento ondulatorio que se propaga por un medio alcanza la superficie que le separa de otro mediode distinta naturaleza, parte de la energia es devuelta al medio de procedencia , es decir, tiene lugar la reflesion de la onda. Al mismo tiempo, otra parte de la energia de la onda incidente se transmite al segundo medio.

""Dibujo""

Reflexion

Es un fenomeno propio de cualquier tipo de ondas, y puede ser explicado mediante el principio de Huygens. Se define como el cambio de direccion de propagacion de una onda cuando incide sobre una superficie reflectante. La superficie reflectante suele ser una superficie de separacion entre dos medios.

""Dibujo""

La reflexion de las ondas cumple las leyes de Snell:

1. que el angulo î y r son iguales.
2. que los rayos incidente y reflejado estan en el mismo plano.