Diferencia entre revisiones de «2. Movimiento ondulatorio. Ondas.»

Temario de Fisica (2012-2013)

Definiciones

Onda: Una onda es la propagación de energía sin que haya desplazamiento de materia. Cuando una onda se propaga, las partículas del medio no acompañan el movimiento de avance de la onda. Para que se produzca un movimiento ondulatorio, se necesita una fuente de energía o centro emisor que produzca una perturbación. También puede existir, en algunos casos, un medio que la transmita.

• Tipos de ondas
  • Onda viajera: Si la perturbación es una onda viajera alcanza al cabo de un tiempo todos los puntos del medio. (ej: piedra en estanque)
  • Onda estacionaria: Es estacionaria cuando la propagación esta delimitada mediante fronteras a una región especifica del medio. (ej: cuerda de guitarra)

Pulso de onda: Es una perturbación individual que se propaga a través de un medio.

Tren de ondas: Es la propagación de una perturbación continua. Todos los puntos del medio están en movimiento. Es necesario suministrar energía continuamente. Cada punto de la cuerda posee un movimiento armónico simple.

Tipos de ondas

Se clasifican según diferentes criterios.

Según el tipo de energía con que se propagan

• Ondas mecánicas: Se propagan con energía mecánica y necesitan de un medio material de propagación. (ej: cuerda)
• Ondas electromagnéticas: La energía propagada es energía electromagnética, producida por oscilaciones de cargas eléctricas aceleradas. Dichas ondas no necesitan de un medio material para propagarse. (ej: luz)

Relación entre la dirección de propagación y la dirección de vibración

• Ondas transversales: Cuando la dirección de propagación y la de vibración son perpendiculares.
• Ondas longitudinales: Si la dirección de propagación coincide con la dirección de vibración. Es una sucesión de contracciones y dilataciones del medio.

Dependiendo del numero de dimensiones en las que se propaga la energía de la onda

• Ondas unidimensionales: Se propaga en una dimensión (ej: cuerda)
• Ondas bidimensionales: Se propaga en dos dimensiones (ej: superficie del agua)
• Ondas tridimensionales: Se propaga en tres dimensiones (ej; ondas de radio)

Magnitudes características de las ondas armónicas

Sea una onda que se transmite por una cuerda.

""Dibujo 2.3 primero""

• Amplitud (A): Es la máxima amplitud con la que vibran las partículas del medio donde se desplaza la onda. Depende solo de la energía que se propaga. (unidades: m)
• Longitud de onda (λ): Es la distancia mínima entre dos puntos consecutivos que se hallan en el mismo estado de vibración. (unidades: m)
• Periodo (T): Tiempo que tarda un punto cualquiera en hacer una oscilación completa. T=1/f (unidades: s)
• Frecuencia de onda (f): Indica el numero de oscilaciones completas que pasan por un medio en un segundo (unidades: Hz)
• Puntos en fase: Se dice que dos puntos de una onda están en fase si tienen el mismo estado de vibración. Si tienen estados de vibración opuestos, se dice que están en oposición de fase.
• Velocidad de propagación (v): También se denomina velocidad de fase. Es la misma en todas las direcciones. (unidades: m/s)
  
  [math]\displaystyle{ v=\frac{\lambda}{T}=\lambda f }[/math]
  Su valor en las ondas electromagneticas es de [math]\displaystyle{ v_{electr}=3\cdot 10^8 m/s }[/math]

• Numero de onda (k): representa el numero de longitudes de onda en una distancia 2π (unidades: m^-1)
  
  [math]\displaystyle{ k=\frac{2\pi}{\lambda} }[/math]
  • Relacion de otras magnitudes con el numero de onda: Teniendo en cuenta que

[math]\displaystyle{ k=\frac{2\pi}{\lambda} }[/math]; [math]\displaystyle{ v=\frac{\lambda}{T}=\lambda f }[/math]; [math]\displaystyle{ \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T} }[/math] Podemos deducir que [math]\displaystyle{ k=\frac{\omega}{v} }[/math]

• Fase de la onda (δ): Informa sobre el estado de vibración de una partícula x de la onda en cualquier instante t (unidades: rad)
• Constante de fase (φ₀): Se determina a partir de las condiciones iniciales (unidades: rad)

Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales

""Dibujo 2.3 segundo""

Se define la ecuación de una onda como la expresión matemática que permite obtener la elongación y de una partícula en un instante t.

Cada punto de la cuerda alcanzado por la perturbación posee un movimiento armónico simple y, por tanto, el estado de vibracion de la partícula en el instante t vendrá dado por la siguiente ecuación:

[math]\displaystyle{ y(x,t) = A cos(\omega t + \varphi_0) }[/math] Suponemos que [math]\displaystyle{ t=0 }[/math], [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] y [math]\displaystyle{ y=A }[/math] [math]\displaystyle{ y(0,0) = A cos (0 + \varphi_0)=0 }[/math] Para que dicha ecuación sea cierta, [math]\displaystyle{ cos \varphi_0 = 1 \Rightarrow \varphi_0 = 0 }[/math] En todo t=t comprobamos que: [math]\displaystyle{ y (0, t) =A cos (\omega t+0) }[/math] Aplicamos [math]\displaystyle{ \omega = 2 \pi f }[/math] Para todo t=t en x podemos decir que: [math]\displaystyle{ y (x,t) = A cos [2 \pi f (t+t')] }[/math] Siendo t' el retraso. Aplicamos [math]\displaystyle{ v = \frac {x}{t'} }[/math] [math]\displaystyle{ y (x,t) = A cos [2 \pi f (t+\frac {x}{v})] }[/math] Aplicamos [math]\displaystyle{ v = \frac {\lambda}{T}= \lambda f }[/math] y sacamos factor comun: [math]\displaystyle{ y (x,t) = A cos [2 \pi( ft-\frac {fx}{f\lambda})] = A cos [2 \pi ft- 2 \pi \frac {x}{\lambda})] }[/math] Aplicamos [math]\displaystyle{ k = \frac {2\pi}{\lambda} }[/math] [math]\displaystyle{ y (x,t) = A cos (2 \pi ft- kx) }[/math] Aplicamos [math]\displaystyle{ \omega = 2 \pi f }[/math] y simplificamos para obtener la ecuacion de la onda armonica transversal y unidireccional [math]\displaystyle{ y (x,t) = A cos (\omega t - kx) }[/math]

Si la onda se propaga en el eje OX en sentido positivo, la ecuacion es:

[math]\displaystyle{ y (x,t) = A cos (\omega t - kx) }[/math]

Si la onda se propaga en el eje OX en sentido negativo, la ecuacion es:

[math]\displaystyle{ y (x,t) = A cos (\omega t + kx) }[/math]

Generalizando las ecuanciones y teniendo en cuenta que [math]\displaystyle{ \varphi_0 }[/math] puede ser distinto de 0:

[math]\displaystyle{ y (x,t) = A cos (\omega t \pm kx + \varphi_0) }[/math]

La velocidad de la particula en ese punto será:

[math]\displaystyle{ v (x,t) = \frac {dy (x,t)}{dt} = -A \omega sin (\omega t \pm kx + \varphi_0) }[/math]

La aceleracion de la particula en ese punto será:

[math]\displaystyle{ v (x,t) = \frac {dv (x,t)}{dt} = -A \omega^2 cos (\omega t \pm kx + \varphi_0) }[/math]

Puntos de fase y de oposición de fase de una onda

Sea una onda armónica unidimensional y transversal, avanzando según el sentido positivo del eje OX

"""Dibujo de una onda marcando la velocidad y la longitud de onda, con dos puntos x1 y x2 en fase"""

[math]\displaystyle{ y(x,t) = A cos(\omega t - kx - \varphi_0) }[/math] donde [math]\displaystyle{ (\omega t - kx - \varphi_0) \Rightarrow \delta }[/math] (fase de onda)

Se dice que dos puntos x₁ y x₂ están en fase, es decir, tienen el mismo estado de vibración, si la diferencia de fase entre ellos es un numero par de veces π.

x₁, x₂ ⇒ fase ⇒ nº par veces π En fase: [math]\displaystyle{ \Delta\delta = 2n\pi, n\in \mathbb Z }[/math]

En el instante t: [math]\displaystyle{ \delta_1 = \omega t - kx_1 - \varphi_0 }[/math] y [math]\displaystyle{ \delta_2 = \omega t - kx_2 - \varphi_0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta\delta = \delta_2-\delta_1 = (\omega t - kx_2 - \varphi_0)-(\omega t - kx_1 - \varphi_0) = kx_1-kx_2 = k(x_1-x_2) = 2n\pi , n\in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta\delta = k(x_1-x_2) = 2n\pi }[/math]

Aplicando [math]\displaystyle{ k=\frac {2\pi}{\lambda} }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac {2\pi}{\lambda}(x_1-x_2) = 2n\pi \Rightarrow |x_1-x_2| = n\lambda , n\in \mathbb Z }[/math]

Se dice que dos puntos x₁ y x₂ están en oposición de fase si la diferencia de fase entre ellos es un numero impar de veces π.

"""Dibujo de una onda con dos puntos x1 y x2 en oposición de fase"""

[math]\displaystyle{ \Delta\delta = (2n+1)\pi, n\in \mathbb Z }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta\delta = \delta_2-\delta_1 = (\omega t - kx_2 - \varphi_0 )-(\omega t - kx_1 - \varphi_0 ) \Rightarrow \Delta\delta = k(x_1-x_2) = (2n+1)\pi }[/math]

Aplicamos [math]\displaystyle{ k=\frac {2\pi} {\lambda} }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta\delta = \frac {2\pi} {\lambda} (x_1-x_2) = (2n+1)\pi \Rightarrow |x_1-x_2| = (2n+1) \lambda /2, n\in \mathbb Z }[/math]

Todos los demas puntos de x₁ y x₂ que no verifican las condiciones anteriores se dice que están en desfase.

Propiedades básicas de una onda transversal unidireccional

La ecuación de una onda armónica es doblemente periódica.

Periódica respecto del tiempo t

[math]\displaystyle{ y(x,t) = y(x,t+nT), n\in \mathbb Z }[/math]

Demostración:

[math]\displaystyle{ y(x,t) = A cos(\omega t - kx) }[/math];[math]\displaystyle{ y(x,t+nT) = A cos[\omega (t+nT) - kx] }[/math] [math]\displaystyle{ y(x,t+nT) = A cos[\omega(t+nT) - kx] = A cos(\omega t + \omega nT - kx) }[/math] Aplicamos [math]\displaystyle{ \omega=2\pi f }[/math] [math]\displaystyle{ A cos(2\pi ft + 2\pi fnT - kx) }[/math] Aplicamos [math]\displaystyle{ fT=1 }[/math] [math]\displaystyle{ A cos(2\pi ft + 2n\pi - kx) }[/math] Aplicamos [math]\displaystyle{ cos\alpha =cos(\alpha +2n\pi }[/math] [math]\displaystyle{ A cos(2\pi ft - kx) = A cos(\omega t - kx) = y(x,t) }[/math]

Periódica respecto del espacio x

La vibración y de la partícula se repite en aquellos puntos cuyas distancias x son múltiplos de la longitud de onda.

"""Dibujo de una onda con puntos x+nλ con imágenes y coincidentes"""

[math]\displaystyle{ y(x,t) = y(x+n\lambda ,t), n\in Z }[/math]

Demostración:

[math]\displaystyle{ y(x,t) = A cos(2\pi ft - kx) }[/math] ; [math]\displaystyle{ y(x+n\lambda ,t) = A cos[2\pi ft - k(x+n\lambda )] }[/math] [math]\displaystyle{ y(x+n\lambda ,t) = A cos[2\pi ft - k(x+n\lambda )] = A cos(2\pi ft - kx - kn\lambda ) }[/math] Aplicamos [math]\displaystyle{ k=\frac{2\pi}{\lambda} }[/math] [math]\displaystyle{ A cos(2\pi ft - kx - (\frac{2\pi}{\lambda})n\lambda ) = A cos(2\pi ft - kx - 2\pi n) }[/math] Aplicamos [math]\displaystyle{ cos\alpha =cos\alpha +2n\pi }[/math] [math]\displaystyle{ A cos(2\pi ft - kx) = y(x,t) }[/math]

Propiedades de las ondas