Diferencia entre revisiones de «1. Movimiento armónico simple.»
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==Movimiento | ==Movimiento periódico == | ||
Se dice que un movimiento es | Se dice que un movimiento es periódico cuando se repite a intervalos regulares de tiempo. | ||
* Periodo (T): Es el tiempo empleado en repetir el movimiento. (unidades: s) | * Periodo (T): Es el tiempo empleado en repetir el movimiento. (unidades: s) | ||
* Frecuencia (f): | * Frecuencia (f): numero de vueltas completas que realiza el móvil en la unidad de tiempo. (unidades: s<sup>-1</sup> ,Hz) | ||
<center><math>f =\frac {1}{T}</math></center> | <center><math>f =\frac {1}{T}</math></center> | ||
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==Movimiento vibratorio== | ==Movimiento vibratorio== | ||
Es uno de los movimientos mas importantes que se dan en la naturaleza. Es un movimiento | Es uno de los movimientos mas importantes que se dan en la naturaleza. Es un movimiento armónico simple. Se denominan asi porque se pueden expresar mediante funciones armónicas (seno y coseno). | ||
Ej: Sea una masa m unida a un resorte de constante | Ej: Sea una masa m unida a un resorte de constante elástica k. Suponemos que μ=0. | ||
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<center><math>|F| = k \Delta y i</math>(N)</center> | <center><math>|F| = k \Delta y i</math>(N)</center> | ||
* Periodo (T); Equivale al tiempo que tarda en realizar una | * Periodo (T); Equivale al tiempo que tarda en realizar una oscilación completa. | ||
* La distancia entre O (el origen) y A (la | * La distancia entre O (el origen) y A (la elongación máxima) es la amplitud de vibración. Dicho desplazamiento se realiza en T/4. | ||
* | * Elongación (x): nos indica la posición de la partícula en cada instante. | ||
Si anotamos y representamos | Si anotamos y representamos gráficamente x del cuerpo respecto al tiempo, obtenemos funcion sinusoidal, y , por tanto, se trata de una función armónica. | ||
[[File:Onda.png|400px|center]] | [[File:Onda.png|400px|center]] | ||
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== Ecuaciones del Movimiento armónico simple== | == Ecuaciones del Movimiento armónico simple== | ||
El movimiento armónico simple de trayectoria recta se puede considerar como la | El movimiento armónico simple de trayectoria recta se puede considerar como la proyección sobre un diámetro del Movimiento circular uniforme. | ||
Vamos a desarrollar la | Vamos a desarrollar la ecuación de posición: | ||
<center>Sea una | <center>Sea una partícula describiendo un Movimiento circular uniforme.</center> | ||
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==Magnitudes principales del Movimiento armónico simple== | ==Magnitudes principales del Movimiento armónico simple== | ||
* | * Elongación: x(t) describe la posición de la partícula respecto al origen. (unidades: m) | ||
* Amplitud (A): Es el valor | * Amplitud (A): Es el valor máximo que puede tomar la elongación. (unidades: m) | ||
* Frecuencia angular (ω): Representa la velocidad angular constante del Movimiento circular uniforme asociado. (unidades: rad/s) | * Frecuencia angular (ω): Representa la velocidad angular constante del Movimiento circular uniforme asociado. (unidades: rad/s) | ||
<center><math>\omega = \frac {2\pi}{T}</math>;<math>\omega = 2\pi f</math></center> | <center><math>\omega = \frac {2\pi}{T}</math>;<math>\omega = 2\pi f</math></center> | ||
* Fase inicial (φ<sub>0</sub>): indica el estado de la vibracion de la particula en el instante inicial. (unidades: rad) | * Fase inicial (φ<sub>0</sub>): indica el estado de la vibracion de la particula en el instante inicial. (unidades: rad) | ||
* Fase en cualquier estado (ωt+φ<sub>0</sub>): indica el estado de la | * Fase en cualquier estado (ωt+φ<sub>0</sub>): indica el estado de la vibración de la partícula en el cualquier instante. (unidades: rad) | ||
* Periodo (T): Es el tiempo empleado en repetir el movimiento. (unidades: s) | * Periodo (T): Es el tiempo empleado en repetir el movimiento. (unidades: s) | ||
* Frecuencia (f): numero de vibraciones completas que realiza la | * Frecuencia (f): numero de vibraciones completas que realiza la partícula en la unidad de tiempo. (unidades: s<sup>-1</sup> ,Hz) | ||
== | == Cinemática del Movimiento armónico simple== | ||
===Velocidad del Movimiento armónico simple=== | ===Velocidad del Movimiento armónico simple=== | ||
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Desarrollamos la | Desarrollamos la ecuación aplicando <math>cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1 \Leftrightarrow cos\alpha= \pm \sqrt {1-sin^2\alpha}</math> : | ||
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<center><math>v (t)= \pm A \omega \sqrt {1-sin^2 (\omega t+\varphi_0)} \Leftrightarrow v (t)= \pm \omega \sqrt {A^2-A^2 sin^2 (\omega t+\varphi_0)}</math></center> | <center><math>v (t)= \pm A \omega \sqrt {1-sin^2 (\omega t+\varphi_0)} \Leftrightarrow v (t)= \pm \omega \sqrt {A^2-A^2 sin^2 (\omega t+\varphi_0)}</math></center> | ||
<center> | <center> Simplificando deducimos que: <math>v (t)= \pm \omega \sqrt {A^2-x^2}</math> (m/s)</center> | ||
También podemos concluir que: | |||
* La velocidad depende de la posicion y es periodica. | * La velocidad depende de la posicion y es periodica. | ||
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* La velocidad máxima siemore se dará en el centro de la trayectoria y su formula será <math>v_{max} = \pm A \omega</math> | * La velocidad máxima siemore se dará en el centro de la trayectoria y su formula será <math>v_{max} = \pm A \omega</math> | ||
=== | === Aceleración del Movimiento armónico simple=== | ||
<center><math>a= \frac {dv}{dt}=\frac {d[A \omega cos(\omega t+\varphi_0)]}{dt}</math></center> | <center><math>a= \frac {dv}{dt}=\frac {d[A \omega cos(\omega t+\varphi_0)]}{dt}</math></center> | ||
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|<math>\varphi_0, tg \varphi_0</math> | |||
<math>x=A sin (\omega t + \varphi_0); v= A \omega cos(\omega t+\varphi_0)</math> | |||
<math>t_0 \rightarrow x_0=A sin \varphi_0; v= A \omega cos\varphi_0</math> | |||
<math>\frac {x_0}{v_0}=\frac {A sin \varphi_0}{A \omega cos\varphi_0} = \frac {tg \varphi_0}{\omega}</math> | |||
<math>tg \varphi_0 = \frac {x_0 \omega}{v_0} \rightarrow \varphi_0 = arctg (\frac {x_0 \omega}{v_0})</math> | |||
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Concluimos que: | Concluimos que: | ||
* La | * La aceleración máxima siempre se dará en los extremos de la trayectoria y su formula será <math>v_{max} = \pm A \omega^2</math> | ||
* La velocidad | * La velocidad mínima siempre se dará en el centro de la trayectoria y su valor será 0. | ||
== | == Dinámica del Movimiento armónico simple== | ||
===Resorte horizontal=== | ===Resorte horizontal=== | ||
Sea una masa m unida a un resorte de constante | Sea una masa m unida a un resorte de constante elástica recuperadora k | ||
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<nowiki>*</nowiki> 2ª ley Newton: <math>\sum F = m a \Rightarrow F_e=ma</math> | <nowiki>*</nowiki> 2ª ley Newton: <math>\sum F = m a \Rightarrow F_e=ma</math> | ||
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Simplificando hallamos que <math>k=m\omega^2</math> (N/m) | Simplificando hallamos que <math>k=m\omega^2</math> (N/m) | ||
De esta | De esta ecuación también podemos deducir lo siguiente: | ||
<math>\omega = \sqrt {\frac {k}{m}}\Rightarrow 2\pi f= \sqrt {\frac {k}{m}}\Rightarrow f=\frac {1}{2\pi}\sqrt {\frac {k}{m}} </math> | <math>\omega = \sqrt {\frac {k}{m}}\Rightarrow 2\pi f= \sqrt {\frac {k}{m}}\Rightarrow f=\frac {1}{2\pi}\sqrt {\frac {k}{m}} </math> | ||
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Sea un resorte vertical de constante recuperadora k del que cuelga una masa m | Sea un resorte vertical de constante recuperadora k del que cuelga una masa m | ||
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Al colgar la masa m se | Al colgar la masa m se producirá un estiramiento, como consecuencia del peso <math>(\Delta l)</math> | ||
2ª ley Newton: <math>\sum F =0</math> | 2ª ley Newton: <math>\sum F =0</math> | ||
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<math>kl=mg \Rightarrow k= \frac {mg}{l}</math> (N/m) | <math>kl=mg \Rightarrow k= \frac {mg}{l}</math> (N/m) | ||
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|<math>f=\frac {1}{2\pi}\sqrt {\frac {k}{m}}</math> | |||
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===Pendulo simple=== | ===Pendulo simple=== | ||
[[File:PenduloSimple.jpg]] | |||
Una masa m, colgada de un hilo de | Una masa m, colgada de un hilo de longitud l cuya masa es despreciable, se mueve sin rozamiento en un angulo <math>\theta</math> | ||
Sigue un movimiento | Sigue un movimiento armónico simple en el eje OX, por lo que cumple sus normas. Ademas, podemos hallar el valor de F<sub>x</sub> o F<sub>t</sub> | ||
<math>F_t=-mg sin \theta</math> | <math>F_t=-mg sin \theta</math> | ||
En pequeños | En pequeños ángulos podemos decir que <math>\theta = sin \theta</math> | ||
<math>F_t=-mg \theta= -mg \frac {x}{l}</math> | <math>F_t=-mg \theta= -mg \frac {x}{l}</math> | ||
Línea 160: | Línea 174: | ||
<math>F_t=-kx</math> | <math>F_t=-kx</math> | ||
La | La aceleración sera: | ||
<math>a= \frac {F_t}{m} = -\frac {k}{m}x</math> | <math>a= \frac {F_t}{m} = -\frac {k}{m}x</math> | ||
Línea 168: | Línea 182: | ||
<math>T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}</math> | <math>T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}</math> | ||
El periodo no depende ni de la amplitud ni de la | El periodo no depende ni de la amplitud ni de la frecuencia angular. | ||
== Energía== |
Revisión actual del 16:27 26 dic 2012
Temario de Fisica (2012-2013)
Movimiento periódico
Se dice que un movimiento es periódico cuando se repite a intervalos regulares de tiempo.
- Periodo (T): Es el tiempo empleado en repetir el movimiento. (unidades: s)
- Frecuencia (f): numero de vueltas completas que realiza el móvil en la unidad de tiempo. (unidades: s-1 ,Hz)
Movimiento vibratorio
Es uno de los movimientos mas importantes que se dan en la naturaleza. Es un movimiento armónico simple. Se denominan asi porque se pueden expresar mediante funciones armónicas (seno y coseno).
Ej: Sea una masa m unida a un resorte de constante elástica k. Suponemos que μ=0.
- Periodo (T); Equivale al tiempo que tarda en realizar una oscilación completa.
- La distancia entre O (el origen) y A (la elongación máxima) es la amplitud de vibración. Dicho desplazamiento se realiza en T/4.
- Elongación (x): nos indica la posición de la partícula en cada instante.
Si anotamos y representamos gráficamente x del cuerpo respecto al tiempo, obtenemos funcion sinusoidal, y , por tanto, se trata de una función armónica.
Si la frecuencia es baja, hablamos de un movimiento ondulatorio. Si la frecuencia es alta, es un movimiento vibratorio.
Ecuaciones del Movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple de trayectoria recta se puede considerar como la proyección sobre un diámetro del Movimiento circular uniforme.
Vamos a desarrollar la ecuación de posición:
Magnitudes principales del Movimiento armónico simple
- Elongación: x(t) describe la posición de la partícula respecto al origen. (unidades: m)
- Amplitud (A): Es el valor máximo que puede tomar la elongación. (unidades: m)
- Frecuencia angular (ω): Representa la velocidad angular constante del Movimiento circular uniforme asociado. (unidades: rad/s)
- Fase inicial (φ0): indica el estado de la vibracion de la particula en el instante inicial. (unidades: rad)
- Fase en cualquier estado (ωt+φ0): indica el estado de la vibración de la partícula en el cualquier instante. (unidades: rad)
- Periodo (T): Es el tiempo empleado en repetir el movimiento. (unidades: s)
- Frecuencia (f): numero de vibraciones completas que realiza la partícula en la unidad de tiempo. (unidades: s-1 ,Hz)
Cinemática del Movimiento armónico simple
Velocidad del Movimiento armónico simple
Desarrollamos la ecuación aplicando [math]\displaystyle{ cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1 \Leftrightarrow cos\alpha= \pm \sqrt {1-sin^2\alpha} }[/math] :
También podemos concluir que:
- La velocidad depende de la posicion y es periodica.
- Los signos +/- indican el sentido del movimiento segun los ejes cartesianos.
- La velocidad máxima siemore se dará en el centro de la trayectoria y su formula será [math]\displaystyle{ v_{max} = \pm A \omega }[/math]
Aceleración del Movimiento armónico simple
[math]\displaystyle{ \varphi_0, tg \varphi_0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=A sin (\omega t + \varphi_0); v= A \omega cos(\omega t+\varphi_0) }[/math] [math]\displaystyle{ t_0 \rightarrow x_0=A sin \varphi_0; v= A \omega cos\varphi_0 }[/math] [math]\displaystyle{ \frac {x_0}{v_0}=\frac {A sin \varphi_0}{A \omega cos\varphi_0} = \frac {tg \varphi_0}{\omega} }[/math] [math]\displaystyle{ tg \varphi_0 = \frac {x_0 \omega}{v_0} \rightarrow \varphi_0 = arctg (\frac {x_0 \omega}{v_0}) }[/math] |
Concluimos que:
- La aceleración máxima siempre se dará en los extremos de la trayectoria y su formula será [math]\displaystyle{ v_{max} = \pm A \omega^2 }[/math]
- La velocidad mínima siempre se dará en el centro de la trayectoria y su valor será 0.
Dinámica del Movimiento armónico simple
Resorte horizontal
Sea una masa m unida a un resorte de constante elástica recuperadora k
* 2ª ley Newton: [math]\displaystyle{ \sum F = m a \Rightarrow F_e=ma }[/math]
Aplicamos la ley de Hooke [math]\displaystyle{ F_e=-k \Delta x }[/math]
[math]\displaystyle{ -k \Delta x=m a_x=m (-\omega^2 x) \Leftrightarrow -kx=-m \omega^2x }[/math]
Simplificando hallamos que [math]\displaystyle{ k=m\omega^2 }[/math] (N/m)
De esta ecuación también podemos deducir lo siguiente:
[math]\displaystyle{ \omega = \sqrt {\frac {k}{m}}\Rightarrow 2\pi f= \sqrt {\frac {k}{m}}\Rightarrow f=\frac {1}{2\pi}\sqrt {\frac {k}{m}} }[/math]
Masa colgada de un resorte vertical
Sea un resorte vertical de constante recuperadora k del que cuelga una masa m
Al colgar la masa m se producirá un estiramiento, como consecuencia del peso [math]\displaystyle{ (\Delta l) }[/math]
2ª ley Newton: [math]\displaystyle{ \sum F =0 }[/math]
Eje y: [math]\displaystyle{ F_e = P }[/math]
Aplicamos [math]\displaystyle{ F_e=-k\Delta l \Leftrightarrow F_e = -k (-l-0)=+kl }[/math]
[math]\displaystyle{ kl=mg \Rightarrow k= \frac {mg}{l} }[/math] (N/m)
[math]\displaystyle{ f=\frac {1}{2\pi}\sqrt {\frac {k}{m}} }[/math] |
Pendulo simple
Una masa m, colgada de un hilo de longitud l cuya masa es despreciable, se mueve sin rozamiento en un angulo [math]\displaystyle{ \theta }[/math]
Sigue un movimiento armónico simple en el eje OX, por lo que cumple sus normas. Ademas, podemos hallar el valor de Fx o Ft
[math]\displaystyle{ F_t=-mg sin \theta }[/math]
En pequeños ángulos podemos decir que [math]\displaystyle{ \theta = sin \theta }[/math]
[math]\displaystyle{ F_t=-mg \theta= -mg \frac {x}{l} }[/math]
Aplicando [math]\displaystyle{ k= \frac {mg}{l} }[/math] deducimos que:
[math]\displaystyle{ F_t=-kx }[/math]
La aceleración sera:
[math]\displaystyle{ a= \frac {F_t}{m} = -\frac {k}{m}x }[/math]
El periodo de este movimiento es:
[math]\displaystyle{ T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} }[/math]
El periodo no depende ni de la amplitud ni de la frecuencia angular.