Diferencia entre revisiones de «1. Movimiento armónico simple.»
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El periodo no depende ni de la amplitud ni de la gracuencia angular. | El periodo no depende ni de la amplitud ni de la gracuencia angular. | ||
==Energia de suputamadre== | |||
Revisión del 17:15 23 oct 2012
Temario de Fisica (2012-2013)
Movimiento periodico
Se dice que un movimiento es periodico cuando se repite a intervalos regulares de tiempo.
- Periodo (T): Es el tiempo empleado en repetir el movimiento. (unidades: s)
- Frecuencia (f): nuemro de vueltas completas qe realiza el movil en la unidad de tiempo. (unidades: s-1 ,Hz)
Movimiento vibratorio
Es uno de los movimientos mas importantes que se dan en la naturaleza. Es un movimiento armonico simple. Se denominan asi porque se pueden expresar mediante funciones armonicas (seno y coseno).
Ej: Sea una masa m unida a un resorte de constante elastica k. Suponemos que μ=0.
- Periodo (T); Equivale al tiempo que tarda en realizar una oscilacion completa.
- La distancia entre O (el origen) y A (la elongacion maxima) es la amplitud de vibracion. Dicho desplazamiento se realiza en T/4.
- Elongacion (x): nos indica la posicion de la particula en cada instante.
Si anotamos y representamos graficamente x del cuerpo respecto al tiempo, obtenemos funcion sinusoidal, y , por tanto, se trata de una funcion armonica.
Si la frecuencia es baja, hablamos de un movimiento ondulatorio. Si la frecuencia es alta, es un movimiento vibratorio.
Ecuaciones del Movimiento armónico simple
El movimiento armónico simple de trayectoria recta se puede considerar como la proyeccion sobre un diametro del Movimiento circular uniforme.
Vamos a desarrollar la ecuacion de posicion:
Magnitudes principales del Movimiento armónico simple
- Elongacion: x(t) describe la posiciom de la particula respecto al origen. (unidades: m)
- Amplitud (A): Es el valor maximo que puede tomar la elongacion. (unidades: m)
- Frecuencia angular (ω): Representa la velocidad angular constante del Movimiento circular uniforme asociado. (unidades: rad/s)
- Fase inicial (φ0): indica el estado de la vibracion de la particula en el instante inicial. (unidades: rad)
- Fase en cualquier estado (ωt+φ0): indica el estado de la vibracion de la particula en el cualquier instante. (unidades: rad)
- Periodo (T): Es el tiempo empleado en repetir el movimiento. (unidades: s)
- Frecuencia (f): numero de vibraciones completas que realiza la particula en la unidad de tiempo. (unidades: s-1 ,Hz)
Cinematica del Movimiento armónico simple
Velocidad del Movimiento armónico simple
Desarrollamos la ecuacion aplicando [math]\displaystyle{ cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1 \Leftrightarrow cos\alpha= \pm \sqrt {1-sin^2\alpha} }[/math] :
Tambien podemos concluir que:
- La velocidad depende de la posicion y es periodica.
- Los signos +/- indican el sentido del movimiento segun los ejes cartesianos.
- La velocidad máxima siemore se dará en el centro de la trayectoria y su formula será [math]\displaystyle{ v_{max} = \pm A \omega }[/math]
Aceleracion del Movimiento armónico simple
[math]\displaystyle{ \varphi_0, tg \varphi_0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=A sin (\omega t + \varphi_0); v= A \omega cos(\omega t+\varphi_0) }[/math]
[math]\displaystyle{ t_0 \rightarrow x_0=A sin \varphi_0; v= A \omega cos\varphi_0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac {x_0}{v_0}=\frac {A sin \varphi_0}{A \omega cos\varphi_0} = \frac {tg \varphi_0}{\omega} }[/math]
[math]\displaystyle{ tg \varphi_0 = \frac {x_0 \omega}{v_0} \rightarrow \varphi_0 = arctg (\frac {x_0 \omega}{v_0}) }[/math]
Concluimos que:
- La aceleracion máxima siemore se dará en los extremos de la trayectoria y su formula será [math]\displaystyle{ v_{max} = \pm A \omega^2 }[/math]
- La velocidad minima siempre se dará en el centro de la trayectoria y su valor será 0.
Dinamica del Movimiento armonico simple
Resorte horizontal
Sea una masa m unida a un resorte de constante elastica recuperadora k
""Dibujo de los huevos""
* 2ª ley Newton: [math]\displaystyle{ \sum F = m a \Rightarrow F_e=ma }[/math]
Aplicamos la ley de Hooke [math]\displaystyle{ F_e=-k \Delta x }[/math]
[math]\displaystyle{ -k \Delta x=m a_x=m (-\omega^2 x) \Leftrightarrow -kx=-m \omega^2x }[/math]
Simplificando hallamos que [math]\displaystyle{ k=m\omega^2 }[/math] (N/m)
De esta ecuacuion tambien podemos deducir lo siguiente:
[math]\displaystyle{ \omega = \sqrt {\frac {k}{m}}\Rightarrow 2\pi f= \sqrt {\frac {k}{m}}\Rightarrow f=\frac {1}{2\pi}\sqrt {\frac {k}{m}} }[/math]
Masa colgada de un resorte vertical
Sea un resorte vertical de constante recuperadora k del que cuelga una masa m
""Dibujo de los huevos""
Al colgar la masa m se producira un estiramiento, como consecuenca del peso [math]\displaystyle{ (\Delta l) }[/math]
2ª ley Newton: [math]\displaystyle{ \sum F =0 }[/math]
Eje y: [math]\displaystyle{ F_e = P }[/math]
Aplicamos [math]\displaystyle{ F_e=-k\Delta l \Leftrightarrow F_e = -k (-l-0)=+kl }[/math]
[math]\displaystyle{ kl=mg \Rightarrow k= \frac {mg}{l} }[/math] (N/m)
[math]\displaystyle{ f=\frac {1}{2\pi}\sqrt {\frac {k}{m}} }[/math]
Pendulo simple
http://antonioholguingarces.net78.net/Cursos/Once/imagenes/MAS/PenduloSimple.jpg
Una masa m, colgada de un hilo de logitud l cuya masa es despreciable, se mueve sin rozamiento en un angulo [math]\displaystyle{ \theta }[/math]
Sigue un movimiento armonico simple en el eje OX, por lo que cumple sus normas. Ademas, podemos hallar el valor de Fx o Ft
[math]\displaystyle{ F_t=-mg sin \theta }[/math]
En pequeños angulos podemos decir que [math]\displaystyle{ \theta = sin \theta }[/math]
[math]\displaystyle{ F_t=-mg \theta= -mg \frac {x}{l} }[/math]
Aplicando [math]\displaystyle{ k= \frac {mg}{l} }[/math] deducimos que:
[math]\displaystyle{ F_t=-kx }[/math]
La aceleracion sera:
[math]\displaystyle{ a= \frac {F_t}{m} = -\frac {k}{m}x }[/math]
El periodo de este movimiento es:
[math]\displaystyle{ T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} }[/math]
El periodo no depende ni de la amplitud ni de la gracuencia angular.
