Diferencia entre revisiones de «1. Movimiento armónico simple.»

De Portfolio Academico
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<center><math>v (t)= -A \omega^2 sin(\omega t+\varphi_0)=-\omega^2 x</math> (m/s<sup>2</sup>)</center>
<center><math>v (t)= -A \omega^2 sin(\omega t+\varphi_0)=-\omega^2 x</math> (m/s<sup>2</sup>)</center>




  <math>\varphi_0, tg \varphi_0</math><br><math>x=A sin (\omega t + \varphi_0); v= A \omega cos(\omega t+\varphi_0)</math><br><math>t_0 \rightarrow x_0=A sin \varphi_0; v= A \omega cos\varphi_0</math><br><math>\frac {x_0}{v_0}=\frac {A sin \varphi_0}{A \omega cos\varphi_0} = \frac {tg \varphi_0}{\omega}</math><br><math>tg \varphi_0 = \frac {x_0 \omega}{v_0} \rightarrow \varphi_0 = arctg (\frac {x_0 \omega}{v_0})</math>
  <math>\varphi_0, tg \varphi_0</math><br><math>x=A sin (\omega t + \varphi_0); v= A \omega cos(\omega t+\varphi_0)</math><br><math>t_0 \rightarrow x_0=A sin \varphi_0; v= A \omega cos\varphi_0</math><br><math>\frac {x_0}{v_0}=\frac {A sin \varphi_0}{A \omega cos\varphi_0} = \frac {tg \varphi_0}{\omega}</math><br><math>tg \varphi_0 = \frac {x_0 \omega}{v_0} \rightarrow \varphi_0 = arctg (\frac {x_0 \omega}{v_0})</math>




Revisión del 15:46 22 oct 2012

Temario de Fisica (2012-2013)

Movimiento periodico

Se dice que un movimiento es periodico cuando se repite a intervalos regulares de tiempo.

  • Periodo (T): Es el tiempo empleado en repetir el movimiento. (unidades: s)
  • Frecuencia (f): nuemro de vueltas completas qe realiza el movil en la unidad de tiempo. (unidades: s-1 ,Hz)
[math]\displaystyle{ f =\frac {1}{T} }[/math]

Movimiento vibratorio

Es uno de los movimientos mas importantes que se dan en la naturaleza. Es un movimiento armonico simple. Se denominan asi porque se pueden expresar mediante funciones armonicas (seno y coseno).

Ej: Sea una masa m unida a un resorte de constante elastica k. Suponemos que μ=0.

Resortes.png
Simplificamos la ley de Hooke:
[math]\displaystyle{ (F = k \Delta y i) }[/math]
[math]\displaystyle{ |F| = k \Delta y i }[/math](N)
  • Periodo (T); Equivale al tiempo que tarda en realizar una oscilacion completa.
  • La distancia entre O (el origen) y A (la elongacion maxima) es la amplitud de vibracion. Dicho desplazamiento se realiza en T/4.
  • Elongacion (x): nos indica la posicion de la particula en cada instante.

Si anotamos y representamos graficamente x del cuerpo respecto al tiempo, obtenemos funcion sinusoidal, y , por tanto, se trata de una funcion armonica.

Onda.png

Si la frecuencia es baja, hablamos de un movimiento ondulatorio. Si la frecuencia es alta, es un movimiento vibratorio.

Ecuaciones del Movimiento armónico simple

El movimiento armónico simple de trayectoria recta se puede considerar como la proyeccion sobre un diametro del Movimiento circular uniforme.

Vamos a desarrollar la ecuacion de posicion:

Sea una particula describiendo un Movimiento circular uniforme.


Mcu.PNG


[math]\displaystyle{ cos [\frac{\pi}{2} - (\varphi_0 + \omega t)] = \frac {x}{A} }[/math]


[math]\displaystyle{ x = A cos [\frac{\pi}{2} - (\varphi_0 + \omega t)] }[/math]


[math]\displaystyle{ x = A sin (\varphi_0 + \omega t) }[/math] (m)

Magnitudes principales del Movimiento armónico simple

  • Elongacion: x(t) describe la posiciom de la particula respecto al origen. (unidades: m)
  • Amplitud (A): Es el valor maximo que puede tomar la elongacion. (unidades: m)
  • Frecuencia angular (ω): Representa la velocidad angular constante del Movimiento circular uniforme asociado. (unidades: rad/s)
[math]\displaystyle{ \omega = \frac {2\pi}{T} }[/math];[math]\displaystyle{ \omega = 2\pi f }[/math]
  • Fase inicial (φ0): indica el estado de la vibracion de la particula en el instante inicial. (unidades: rad)
  • Fase en cualquier estado (ωt+φ0): indica el estado de la vibracion de la particula en el cualquier instante. (unidades: rad)
  • Periodo (T): Es el tiempo empleado en repetir el movimiento. (unidades: s)
  • Frecuencia (f): numero de vibraciones completas que realiza la particula en la unidad de tiempo. (unidades: s-1 ,Hz)

Cinematica del Movimiento armónico simple

Velocidad del Movimiento armónico simple

[math]\displaystyle{ v= \frac {dx}{dt}=\frac {dx(t)}{dt}=\frac {d[A sin(\omega t+\varphi_0)]}{dt} }[/math]


[math]\displaystyle{ v (t)= A \omega cos(\omega t+\varphi_0) }[/math](m/s)


Desarrollamos la ecuacion aplicando [math]\displaystyle{ cos^2\alpha + sin^2\alpha = 1 \Leftrightarrow cos\alpha= \pm \sqrt {1-sin^2\alpha} }[/math] :


[math]\displaystyle{ v (t)= \pm A \omega \sqrt {1-sin^2 (\omega t+\varphi_0)} \Leftrightarrow v (t)= \pm \omega \sqrt {A^2-A^2 sin^2 (\omega t+\varphi_0)} }[/math]
Simpificando deducimos que: [math]\displaystyle{ v (t)= \pm \omega \sqrt {A^2-x^2} }[/math] (m/s)

Tambien podemos concluir que:

  • La velocidad depende de la posicion y es periodica.
  • Los signos +/- indican el sentido del movimiento segun los ejes cartesianos.
  • La velocidad máxima siemore se dará en el centro de la trayectoria y su formula será [math]\displaystyle{ v_{max} = \pm A \omega }[/math]

Aceleracion del Movimiento armónico simple

[math]\displaystyle{ a= \frac {dv}{dt}=\frac {d[A \omega cos(\omega t+\varphi_0)]}{dt} }[/math]


[math]\displaystyle{ v (t)= -A \omega^2 sin(\omega t+\varphi_0)=-\omega^2 x }[/math] (m/s2)


[math]\displaystyle{ \varphi_0, tg \varphi_0 }[/math]
[math]\displaystyle{ x=A sin (\omega t + \varphi_0); v= A \omega cos(\omega t+\varphi_0) }[/math]
[math]\displaystyle{ t_0 \rightarrow x_0=A sin \varphi_0; v= A \omega cos\varphi_0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac {x_0}{v_0}=\frac {A sin \varphi_0}{A \omega cos\varphi_0} = \frac {tg \varphi_0}{\omega} }[/math]
[math]\displaystyle{ tg \varphi_0 = \frac {x_0 \omega}{v_0} \rightarrow \varphi_0 = arctg (\frac {x_0 \omega}{v_0}) }[/math]


Concluimos que:

  • La aceleracion máxima siemore se dará en los extremos de la trayectoria y su formula será [math]\displaystyle{ v_{max} = \pm A \omega^2 }[/math]
  • La velocidad minima siempre se dará en el centro de la trayectoria y su valor será 0.
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